Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
①求函数的单调区间；
②求函数的极大值与极小值的差；
③当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

①先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值，说明导函数在x=2时值为0，再根据其图象在x=1处的切线斜率为-3，列出方程组即可求出a、b的值，进而可以求出函数的单调区间；
②根据①的单调性，可以得出函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c-4，即可得出函数的极大值与极小值的差；
③可以求出函数在闭区间∈[1，3]上的最小值，这个最小值要大于1-4c2，解不等式可以得出实数c的取值范围．
【解析】
①首先f′（x）=3x2+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=2取得极值，所以f′（2）=3•22+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0…（i）
其次，因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3•12+6a•1+3b=-3
即2a+b+2=0…（ii）
联解（i）、（ii）可得a=-1，b=0
所以：f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，0＜x＜2
∴函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）
②由①得，函数的表达式为（x）=x3-3x2+c，
因此求出函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c-4
故函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4
③f（x）＞1-4c2在x∈[1，3]时恒成立，说明函数在此区间上的最小值大于1-4c2，
求出[f（x）]min=f（2）=c-4，故c-4＞1-4c2
解得