Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，并证明你的结论．

Answer

（1）连接A1B交AB1于E点，由A1D=DC1，结合三角形中位线定理可得DE∥BC1，进而根据线面平行的判定定理得到直线BC1∥平面AB1D；
（2）过点D作DN⊥AB1于N，过D作DM⊥A1B1于M，由线面垂直的判定定理及同一法，可得M、N应重合于B1点，由点D在棱A1C1上，故∠A1B1D≤∠A1B1C1=60，故不存在这样的点D，使平面AB1D⊥平面ABB1A1．
（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．由（2）的结合可得∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，设，由二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为2，我们易构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可指出点D的位置．
【解析】
（1）证明：连接A1B交AB1于E点，
在平行四边形ABB1A1中，有A1E=BE，又A1D=DC1…（2分）
∴DE为△A1BC1的中位线，从而DE∥BC1，
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴直线BC1∥平面AB1D…（4分）
（2）假设存在点D，使平面AB1D⊥平面ABB1A1，
过点D作DN⊥AB1于N，则DN⊥平面ABB1A1，
又过D作DM⊥A1B1于M，则DM⊥平面ABB1A1，…（6分）
而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故M、N应重合于B1点，此时应有DB1⊥A1B1，故∠A1B1D=90°，…（7分）
又点D在棱A1C1上，故∠A1B1D≤∠A1B1C1=60，
显然矛盾，故不存在这样的点D，使平面AB1D⊥平面ABB1A1．…（9分）
（3）连接MN，过A1作A1F⊥AB1于F．
由（2）中的作法可知：∠MND为二面角A1-AB1-D平面角，…（10分）
设，则，
则可得，，，…（12分）
∴．∴
即点D在棱A1C1上，且时，
二面角A1-AB1-D平面角的正切值的大小为2．  …（14分）