Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（3）若对一切k∈N^*有a_2k＞a_zk-1，求c的取值范围．

Answer

（1）由a1=1，a2=ca1+c2•3=3c2+c，a3=ca2+c3•5=8c3+c3，a4=ca3+c4•7=15c4+c3即得；
（2）根据a1，a2和a3猜测an=（n2-1）cn+cn-1，进而用数学归纳法证明；
（3）把（2）中求得的an代入a2k＞azk-1，整理得（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0，设（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1=0的两个根分别表示ck和ck'，根据ck＜＜1求得c≥1，再根据ck'＜0，判断出单调递增知ck'≥c1'求得c＜-，最后综合答案可得．
【解析】
（1）由a1=1，
a2=ca1+c2•3=3c2+c=（22-1）c2+c，…（1分）
a3=ca2+c3•5=8c3+c3=（32-1）c3+c2，…（2分）
a4=ca3+c4•7=15c4+c3=（42-1）c4+c3，…（3分）
（2）猜测an=（n2-1）cn+cn-1，n∈N*．…（5分）
下用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即ak=（k2-1）ck+ck-1，…（6分）
则当n=k+1时，ak+1=cak+ck′+1（2k+1）=c[（k2-1）ck+ck-1]+ck+1（2k+1）
=（k2+2k）ck+1+ck=[（k+1）2-1]ck+1+ck，…（7分）
综上，an=（n2-1）cn+cn-1对任何n∈N*都成立．…（8分）
（3）由a2k＞a2k-1，得[（2k）2-1]c2k+c2k-1＞[（2k-1）2-1]c2k-1+c2k-2，…（9分）
因c2k-2＞0，所以（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N*，有c＞ck或c＜c k′，
其中，．…（10分）
易知，
又由，
知，…（11分）
因此由c＞ck对一切k∈N*成立得c≥1．…（12分）
又，
易知ck′单调递增，故 ck′≥c1′对一切k∈N*成立，
因此由c＜ck′对一切k∈N*成立得．…（13分）
从而c的取值范围为．…（14分）．