Question

已知函数f（x）=2cosx•sin（x+）-sin²x+sinx•cosx
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到g（x）的图象，求使函数g（x）为偶函数的m的最小值．

Answer

先利用两角和的正弦公式，二倍角公式将已知函数化为复合函数y=Asin（ωx+φ）的形式，（I）将内层函数ωx+φ看做整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式即可得此函数的单调区间；（II）先求出将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到g（x）的图象的解析式，要使函数g（x）为偶函数，即一条对称轴为x=0，只需代入内层函数中，使内层函数的值为正弦曲线的对称轴x=kπ+即可，从而得m的表达式，求最小值即可
【解析】
f（x）=2cosx•sin（x+）-sin2x+sinx•cosx
=2cosx（sinxcos+cosxsin）-sin2x+sinx•cosx
=2cosx（sinx+cosx））-sin2x+sinx•cosx
=2cosxsinx+（cos2x-sin2x）
=sin2x+
=2sin（2x+）
（I）令
得  （k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间是，（k∈Z）
（II）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到函数的解析式为g（x）=2sin[2（x-m）+]=2sin（2x-2m+）
要使函数g（x）为偶函数，即x=0为其对称轴
只需2×0-2m+=kπ+  （k∈Z）
即m=-（k∈Z），
∵m＞0
∴m的最小正值为，此时k=-1
∴m的最小正值为