已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3-x2-ax．（1）若x=为y=f（x）...

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．（1）若x= manfen5.com 满分网

为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³= manfen5.com 满分网

有实根，求实数b的取值范围．

（1）因为x=为y=f（x）的极值点，所以f′（）=0，就可求出a的值．（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）3=有实根，就可得到方程lnx-（1-x）2+（1-x）=由实根，即b=xlnx+x2-x3在x＞0上有解，只需求出函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域，而b在这个范围内，就可得到b的取值范围．【解析】（1）f′（x）=+3x2-2x-a= ∵x=为f（x）的极值点，∴f′（）=0 ∴3a+（3-2a）-（a2+2）=0且a+1≠0 ∴a=0．又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=为f（x）的极值点成立．（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）3= 可得lnx-（1-x）2+（1-x）= 即b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在x＞0上有解即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域． b=x（lnx+x-x2）令h（x）=lnx+x-x2 由h′（x）=+1-2x=∵x＞0 ∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数． ∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等