Question

已知圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．
（1）求切线PF的方程；
（2）若抛物线E的焦点为F，顶点在原点，求抛物线E的方程．
（3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（1）先将点A代入圆C方程，求得m的值，得到圆C的方程，再设直线PF的斜率为k，利用直线PF与圆C相切的几何性质求得k值，从而得到切线PF的方程；
（2）设抛物线标准方程为y2=-2px由焦点坐标求得p=8从而写出抛物线标准方程即可；
（3）设Q（x，y），分别求得向量的坐标，再利用向量的数量积得到关于y的二次函数式，最后利用二次函数的性质即可求的取值范围．
【解析】
（1）点A代入圆C方程，得（3-m）2+1=5．∵m＜3，∴m=1．
圆C：（x-1）2+y2=5．设直线PF的斜率为k，则PF：y=k（x-4）+4，
即kx-y-4k+4=0．∵直线PF与圆C相切，∴．解得．
 当k=时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k=时，直线PF与x轴的交点横坐标为-4，∴符合题意，∴直线PF的方程为y=x+2…（6分）
（2）设抛物线标准方程为y2=-2px，∵F（-4，0），∴p=8，∴抛物线标准方程为y2=-16x…（8分）
（3），设Q（x，y），，．
∵y2=-16x，∴．
∴的取值范围是（-∞，30]．…（13分）