Question

椭圆与直线y=x+1交于P，Q两点 且，a²+b²=2a²b²．求椭圆方程．

Answer

把直线y=x+1代入椭圆，得b2x2+a2（x+1）2=a2b2，所以（a2+b2）x2+2a2x+a2=a2b2，由a2+b2=2a2b2，得2b2x2+2x+1-b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，k=1，故|PQ|==，由此能求出椭圆方程．
【解析】
把直线y=x+1代入椭圆，
得b2x2+a2（x+1）2=a2b2，
∴（a2+b2）x2+2a2x+a2=a2b2，
∵a2+b2=2a2b2，
∴2a2b2x2+2a2x+a2=a2b2，
∴2b2x2+2x+1-b2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，k=1，
∴|PQ|=
=
=，
解得b2=2或．
当b2=2时，由a2+b2=2a2b2，解得a2=（舍）
当时，由a2+b2=2a2b2，解得a2=2．
∴椭圆方程为：．