Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，E为线段PC上一点，PE=2EC．
（1）求PD的长； （2）求二面角P-BD-E的大小．

Answer

（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，我们可得△PBC为直角三角形，且∠PBC=60°，BC=3，代入求出PC后，解直角△PDC可得答案．
（2）以D为坐标原点建立空间坐标系D-xyz，分别求出平面PBD及平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P-BD-E的大小．
【解析】
（1）∵ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∴BC⊥PC
∵异面直线AD与PB所成角为60°，BC∥AD
∴在Rt△PBC中，∠PBC=60°，BC=3
故PC=3
在Rt△PDC中，CD=3
∴
（2）以D为坐标原点建立空间坐标系D-xyz，如图所示
则P（0，0，3），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），
E为线段PC上一点，PE=2EC，故E（0，2，）
∵PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D
AC⊥平面PBD
∴=（-3，3，0）为平面PBD的一个法向量
又∵=（-3，-3，0），=（0，2，）
设向量=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则

即
令x=1，则=（1，-1，）
设二面角P-BD-E的平面角为θ
则|cosθ|==
二面角P-BD-E的大小为45°