Question

m为何值时，抛物线y²=x上总存在两点关于直线l：y=m（x-1）+1对称．

Answer

设存在两点关于直线对称，则两点连线与对称轴垂直，根据两点的中点在对称轴上，将两点代入抛物线方程作差，得到斜率与中点的关系，据点在抛物线上，利用基本不等式求出斜率范围．
【解析】
设直线l的方程为y-1=m（x-1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），
代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1-y2）=x1-x2．
∵kAB==-，
∴y1+y2=-m．注意到AB的中点在直线l：y-1=m（x-1）上，∴x1+x2=1-．
∴y12+y22=x1+x2=1-．
由y12+y22＞，得1-＞
＜0
∴-2＜m＜0．
即当-2＜m＜0时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=m（x-1）+1对称．