Question

腾讯公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a_n（n∈N*），设b_n=a_n+1-a_n．

等级	等级图标	需要天数	等级	等级图标	需要天数
1		5	7		77
2		12	8		96
3		21	12		192
4		32	16		320
5		45	32		1152
6		60	48		2496

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并猜想b_n的表达式（不必证明）；
（2）利用（1）的结论求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer

（1）根据bn=an+1-an结合图表中的数据，直接计算，并结合等差数列定义判断是等差数列．
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，此种情形可用叠加法求数列{an}的通项公式
（3）由（2）能得出=，用裂项法求出c1+c2+…+cn，再去证明不等式．
【解析】
（1）由表所给出的数据得a1=5，a2=12，a3=21，a4=32，而bn=an+1-an，
于是b1=7，b2=9，b3=11，b4=13．
猜测{bn}是以7为首项，公差为2的等差数列．
所以bn=2n+5，n∈N*
（2）由（1）知an+1-an=2n+5，
当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…（a2-a1）+a1
=[2×（n-1）+5]+[2×（n-2）+5]+…+（2×1+5）+5
=2×[1+2+…（n-1）]+5n=n2+4n
且当n=1时也符合
∴an=n2+4n
（3）=
于是=．