Question

已知函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k-1）x=x2-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可．
（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（-1）和g（2）其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围．
【解析】
（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得…（2分）
（2）由（1）可知，f'（x）=x2-4x=x（x-4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 极大值 极小值

∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；      …（4分）
∴极大值为，极小值为…（5分）
（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：…（6分）
∴，
∴…（8分）