Question

已知过函数f（x）=x³+ax²+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3．
（1）求a，b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A-1992对于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x²+tx+1．是否存在一个实数t，使得当x∈（0，1]时，g（x） 有最大值1？

Answer

（1）先求导函数，利用过函数f（x）=x3+ax2+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3，根据导数的几何意义，可得f′（1）=-3，从而可求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）+1992，则问题转化为求g（x）在[-1，4]上的最大值．
（3）先求导函数g′（x）=-3x2+t，根据t的取值不同，函数的单调性有所不同，故需进行分类讨论，从而得解．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax，
∵过函数f（x）=x3+ax2+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3
∴f′（1）=-3，
∴a=-3，
将（1，b）代入函数f（x）=x3-3x2+1，可得b=-1
（2）令h（x）=f（x）+1992，则使不等式f（x）≤A-1992对于x∈[-1，4]恒成立
问题转化为h（x）≤A对于x∈[-1，4]恒成立，从而求h（x）在[-1，4]上的最大值即可．
求导数h′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
则函数在（-1，0），（2，4）上，h′（x）＞0，函数为单调增函数，
在（0，2）上，h′（x）＜0，函数为单调减函数
∵h（-1）=1987，h（0）=1993，h（4）=2009
∴函数在x=4处取得最大值2009．
故A≥2009
（3）∵g（x）=-f（x）-3x2+tx+1=-x3+tx，∴g′（x）=-3x2+t
当t≤0时，函数单调递减，函数在x∈（0，1]无最大值；
当t∈（0，3）时，函数在x∈（0，1]上先增后减，，此时符合题意
当t≥3时，函数在x∈（0，1]上单调递增，∴gmax（x）=g（1）=1，
∵g（x）=-f（x）-3x2+tx+1=-x3+tx，∴t-1=1，
∴t=2，不满足t≥3，舍去
故