Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+1．
（ I）求证：数列{a_n}是等比数列；（ II）求出数列{a_n}的通项公式．

Answer

（I）把n=n+1代入Sn=2an+1得到一个式子，再把两个式子相减，再由Sn+1-Sn=an+1得到数列的递推公式，化简后根据等比数列的定义进行证明；
（II）把n=1代入Sn=2an+1，求出a1的值，再由（I）的结论和等比数列的通项公式，求出an．
【解析】
（ I）证明：依题意可得Sn+1=2an+1+1…①，Sn=2an+1…②
①-②，得an+1=2an+1-2an
化简得
∴数列{an}是公比为2的等比数列．
（II）由（I）得，数列{an}是公比为2的等比数列，
把n=1代入Sn=2an+1，得S1=a1=2a1+1，解得a1=-1，
∴an=（-1）×2n-1=-2n-1．