Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由an=Sn-Sn-1=（an-1-1），知，由S1=a1=（a1-1）得a1=q，由此知an=q•qn-1=qn．
（2），由此能证明出a1+a2+…+an＜．
（3）bn=logqa1+logqa2+logqan=logq（a1a2an）=，=，所以，由此能求出m的值．
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（an-1-1）（2分）
⇒（2分）
又由S1=a1=（a1-1）得a1=q（3分）
∴数列an是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴an=q•qn-1=qn（5分）
（2）（7分）
=（9分）

（3）bn=logqa1+logqa2+logqan=logq（a1a2an）=（9分）
∴=（11分）
∴，即
∵n=1时，
∴m≤3（14分）
∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3．（16分）