Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，则点B到平面AMN的距离是    ．

Answer

连接AC、BD交于点O，连接A1C1与MN的交点为E，连接AE、B1D1，作OH⊥AE于H．然后利用三角形的中位线定理和平行四边形对边平行，证明出MN∥BD，结合线平行的判定定理，得到BD∥平面AMN，所以点B到平面AMN的距离，即为直线BD到平面AMN的距离．接下来利用直线与平面垂直的判定定理，证明出OH⊥平面AMN，得OH即为直线BD到平面AMN的距离．这样就证出了OH即是点B到平面AMN的距离，最后利用Rt△A1EA∽Rt△HAO，可以求出OH的长，求出点B到平面AMN的距离．
【解析】
连接AC、BD交于点O，连接A1C1与MN的交点为E，
连接AE、B1D1，作OH⊥AE于H，
可得OH即是点B到平面AMN的距离．下面进行证明
∵△A1B1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，
∴MN∥B1D1
∵B1D1∥BD
∴MN∥BD
∵MN⊆平面AMN，BD⊄平面AMN
∴BD∥平面AMN
点B到平面AMN的距离，即为直线BD到平面AMN的距离
∵AA1⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD
∴BD⊥AA1
又∵BD⊥AC，AC∩A1A=A，AC、A1A⊆平面AA1C1C
∴BD⊥平面AA1C1C
∵MN∥BD
∴MN⊥平面AA1C1C
∵OH⊆平面AA1C1C
∴OH⊥MN
又∵OH⊥AE，MN∩AE=E，MN、AE⊆平面AMN
∴OH⊥平面AMN
OH即为直线BD到平面AMN的距离
∴OH即是点B到平面AMN的距离．
∵在正方形A1B1C1D1中，边长为1，
M、N分别是A1B1、A1D1的中点
∴A1E=A1C1=
∴Rt△A1AE中，AE===
在Rt△HAO中，AO=AC=
∵∠HAO=∠A1EA=90°-∠A1AE
∴Rt△A1EA∽Rt△HAO
∴⇒OH=
故答案为：