Question

已知数列{a_n}中a₁=0，a_n+1=a_n+2n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）由a1=0，an+1=an+2n可求得a2、a3、a4；
（Ⅱ）由于an-an-1=2（n-1），（n≥2），可采用累加法得：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…（a2-a1）+a1，从而可求得an．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得an=n2-n，于是=n•2n，其前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②将①②两个式子利用错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）由已知得a2=a1+2=2，a3=a2+4=6，a4=a3+6=12．
（Ⅱ）由已知得an+1-an=2n．所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=，
（Ⅲ）∵an=n2-n，
∴=n•2n，
∴数列{bn}前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②得-Sn=2+22+23+…2n-n×2n+1
∴，
∴Sn=2+（n-1）•2n+1．