Question

设命题P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，命题Q：函数f（x）=lg[4x²+（m-2）x+1]的值域为全体实数，若P且Q为真，试求实数m的取值范围．

Answer

由题设知x1+x2=a且x1+x2=-2，所以|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=a2+8≤3，由题意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集，由此知当m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．
要使函数f（x）=lg[4x2+（m-2）x+1]的值域为全体实数，则△=（m-2）2-16≥0，∴m≥6或m≤-2，再利用P且Q为真，故问题得解．
【解析】
由题设知x1+x2=a且x1+x2=-2，所以|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=a2+8，当a∈[-1，1]时，a2+8的最大值为9，
即|x1-x2|≤3
由题意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集，由此不等式得m2-5m-3≤-3①或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5不等式②的解为m≤1或m≥6因为，对m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．
函数f（x）=lg[4x2+（m-2）x+1]的值域为全体实数，则△=（m-2）2-16≥0，∴m≥6或m≤-2
∵P且Q为真，∴m≥6或m≤-2