Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，当．
（1）求证是等差数列；
（2）若T_n=S₁•S₂+S₂•S₃+…+S_n•S_n+1，求T_n；
（3）在条件（2）下，试求满足不等式的正整数m．

Answer

（1）由=可得，2Sn-2Sn-1+SnSn-1=0即，为公差的等差数列
（2）由（1）可得，，则，利用裂项求和可求
（3）由（1）可得，=，利用裂项求和可求，而
结合m∈N*可求m
证明：（1）=
整理可得，2Sn-2Sn-1+SnSn-1=0
两边同时除以SnSn-1可得，，
是以1为首项，为公差的等差数列
（2）由（1）可得，

=
（3）由（1）可得，=
=

原不等式可化为，即（m+1）（2m+1）≤55
∵m∈N*∴m=1，2，3，4