记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若...

记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log₂（1-2^x），判断f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）= manfen5.com 满分网

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

（1）直接根据题中的定义判断f（x）=log2（1-2x）是否是M的元素即可；（2）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2-（a2-b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．【解析】（1）∵ ∴f（x）=log2（1-2x）∈M （2）∵， ∴f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．，解得：（a+b）x2-（a2-b2）x=0恒成立，故a+b=0 由f（x）＜1，得到，，由a＜0，而，故x的范围为：或 x＜a （13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等