已知抛物线x2=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，（1）求...

已知抛物线x²=2py（p＞0）上一点P（x，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的动直线l交抛物线于A、B两点，求弦AB中点Q的轨迹方程．

（1）由抛物线的准线：，知点P到准线的距离为，由此能求出抛物线方程．（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在），由，由此能求出弦AB中点Q的轨迹方程．【解析】（1）抛物线的准线：， ∴点P到准线的距离为， ∴p=2， ∴抛物线方程为x2=4y．（2）F（0，1），设AB方程为y=kx+1（k显然存在）由，（△＞0恒成立）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），则x1+x2=4k， ∵Q（x，y）是线段AB的中点， ∴， ∴k=， ∴，整理，得x2-2y+2=0．故弦AB中点Q的轨迹方程为：x2-2y+2=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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