Question

已知⊙F₁：，，在⊙F₁上取点P，连接PF₂，作出线段PF₂的垂直平分线交PF₁于M，当点P在⊙F₁上运动时M形成曲线C．（如图）
（1）求曲线C的轨迹方程．
（2）过点F₂的直线l交曲线C于R，T两点，满足|RT|=，求直线l的方程．
（3）点Q在曲线C上，且满足，求．

Answer

（1）由题意有|PM|=|F2M|从而有|MF1|+|MF2|=|PF1|=4，根据椭圆的定义得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．再写出其方程即可；
（2）设l的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用线段的比例关系即可求得k值，从而解决问题．
（3）根据三角形中的余弦定理可得12=|QF1|2+|QF2|2-|QF1|•|QF2|而|QF1|+|QF2|=4，从而得出
最后利用三角形的面积公式求解即得．
【解析】
（1）由题意有|PM|=|F2M|
∴|MF1|+|MF2|=|PF1|=4
∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
其方程为
（2）设l的方程为，
（若l的斜率不存在，则，，∴|RT|=1，不合题意）
代入x2+4y2-4=0整理有
设R（x1，y1），T（x2，y2）
椭圆右准线方程为：，离心率．
过R、T作右准线的垂线，设垂足分别为R2、T2，则
=
∴即
解之有，
∴l的方程为
（3）|QF1|+|QF2|=4
∴12=|QF1|2+|QF2|2-|QF1|•|QF2|
而|QF1|+|QF2|=4，
∴|QF1|2+|QF2|2+2|QF1|•|QF2|=16
∴12=16-2|QF1|•|QF2|-|QF1|•|QF2|
∴
∴S△F1F2Q===．