Question

已知函数f（x）=sinx+cos（x+t）为偶函数，且t满足不等式t²-3t-40＜0，则t的值为    ．

Answer

因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），即2sinx=cos（x-t）-cos（x+t），整理可得：sint=1，所以t=+2kπ．又因为t满足不等式t2-3t-40＜0，所以-5＜t＜8，进而得到t的取值．
【解析】
因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=sin（-x）+cos（t-x）=-sinx+cos（x-t）=f（x）=sinx+cos（x+t），
即2sinx=cos（x-t）-cos（x+t）
整理可得：cosxcost+sinxsint-cosxcost+sinxsint=2sinxsint
所以sint=1，
所以t=+2kπ．
又因为t满足不等式t2-3t-40＜0，
所以-5＜t＜8，
所以t=．
故答案为．