Question

已知函数f（x）=x²+lnx
（1）求f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值；
（2）已知直线l：y=2x+a与函数f（x）的图象相切，求切点的坐标及a的值．

Answer

（1）求出函数f（x）导数f′（x），判断出f′（x）=＞0在区间[1，e]上恒成立，得到f（x）在区间[1，e]上递增，进一步求出f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值；
（2）令f′（x）=2求得x=1将x=1代入f（x）=x2+lnx得到切点坐标为（1，）；将切点坐标代入直线方程求得a的值
【解析】
（1）对函数f（x）求导数得：f′（x）=；
因为f′（x）=＞0在区间[1，e]上恒成立，
所以f（x）在区间[1，e]上递增，
所以当x=1时，f（x）有最小值为f（1）=；当x=e时，f（x）有最大值f（e）=．
（2）由题意得f′（x）=2即f′（x）==2解得x=1
将x=1代入f（x）=x2+lnx得f（1）=即切点坐标为（1，）；
将切点坐标（1，）代入直线l：y=2x+a得a=
故切点坐标为（1，）；a=