Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且，．
（1）证明：；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由已知递推关系式可判断数列{}为常数列，结合a1=2，a2=1即可证明结论
（2）由（1）知是以为首项，为公差的等差数列，从而得，进而确定bn，最后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵
∴数列{}为常数列
∴==  （n≥2）
∴
（2）由（1）知是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴
∴Sn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n，
∴，
∴Sn=（n-1）2n+1．