Question

若y=sin²x+2pcosx+q有最大值9和最小值3，求实数p，q的值．

Answer

利用同角三角函数关系及换元法，可将函数y=sin2x+2pcosx+q的解析式化为y=-t2+2pt+q+1=-（t-p）2+p2+q+1，t∈[-1，1]，进而根据二次函数在定区间上最值问题，结合函数的最大值9和最小值3，分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到实数p，q的值．
【解析】
y=sin2x+2pcosx+q=-cos2x+2pcosx+q+1…（2分）
令cosx=t，t∈[-1，1]，则y=-t2+2pt+q+1=-（t-p）2+p2+q+1，y=-（t-p）2+p2+q+1的对称轴为t=p…（3分）
①当p＜-1时，函数y在t∈[-1，1]为减函数ymax=y|t=-1=-2p+q=9，ymin=y|t=1=2p+q=3，解得：…（5分）
②当p＞1时，函数y在t∈[-1，1]为增函数ymin=y|t=-1=-2p+q=3，ymax=y|t=1=2p+q=9，…（7分）
③当-1≤p≤1时，ymax=y|t=p=p2+q+1=9
（i）当-1≤p≤0时，ymin=y|t=1=2p+q=3
解得：，与-1≤p≤0矛盾；                    …（9分）
（ii）当0＜p≤1时，ymin=y|t=-1=-2p+q=3
解得：，与0＜p≤1矛盾．…（11分）
综合上述：或．…（12分）