Question

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？

Answer

由题意知：存款量f（x）=kx2，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，得f（x）=10000x2，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，设银行可获收益为y，则y=480x2-10000x3，再由导数性质能求出当x为多少时，银行可获得最大收益．
【解析】
由题意知：存款量f（x）=kx2，
当利率为0.012时，存款量为1.44亿，
即x=0.012时，y=1.44；
由1.44=k•（0.012）2，得k=10000，
∴f（x）=10000x2，
银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x3，
设银行可获收益为y=贷款收益-利息支出，
则y=480x2-10000x3，
由于y'=960x-30000x2，则y'=0，
即960x-30000x2=0，得x=0或x=0.032．
因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，
此时，函数y=480x2-10000x3递增；
x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，
此时，函数y=480x2-10000x3递减；
故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．