Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N*），令．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由题设Sn=2an-2n（n∈N*），得n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2n-1，再由an=Sn-Sn-1整理出an=2an-1+2n-1．此方程的两边同除以2n可得到n≥2时，bn-bn-1是一个常数，从而由等差数列的定义证得结论；
（2）由（1）知，，结合易得{an}的通项公式
证明：（1）因为Sn=2an-2n（n∈N*），则n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2n-1，
此时，an=Sn-Sn-1=2an-2n-2an-1+2n-1=2an-2an-1-2n-1，
即an=2an-1+2n-1．
由a1=2a1-2得a1=2．由得．
当n≥2时，bn-bn-1==，
所以{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
解（2）由（1）知，，即 =，
所以{an}的通项公式为 an=（n+1）•2n-1．