Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）其中f（x）=x²-4x+2
（1）若{a_n}（2）的公差d＞0，求通项公式a_n（3）
（4）在（1）的条件下，若数列
（5），求证：b_n•b_n+2＜b²_n+1（6）

Answer

（1）a1=f（x+1）=x2-2x-1，a2=f（x-1）=x2-6x+7由{an}为等差数列，能够求出通项公式an．
（2）由an=2n-4，知bn+1-bn=2n，bn-1-bn-2=2n-2，…，b2-b1=2，累加得bn=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1，由此能够证明bn•bn+2＜b2n+1．
（1）【解析】
a1=f（x+1）=x2-2x-1，
a2=f（x-1）=x2-6x+7，
由{an}为等差数列，
得2a2=a1+a3
∴2x2-8x+6=0，
∴x=1或x=3…（2分）
x=1时a1=-2a2=0d=2＞0合题意，
∴an=2n-4x=3时a1=2a2=0d=-2，舍去
∴an=2n-4…（5分）
（2）证明：由（1）知an=2n-4，
从而bn+1-bn=2n，
bn-1-bn-2=2n-2，…，b2-b1=2，
累加得 bn=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1…（8分）
因为bn•bn+2-b2n+1
=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=22n+2-2n+2-2n+1-（22n+2-2n+2+1）
=-2n＜0．
所以bn•bn+2＜b2n+1…（10分）．