Question

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（，0）的距离比点P到x轴的距离大．
（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程．

Answer

（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．
（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0，由此能够求出直线l的方程．
【解析】
（1）由定义法，知点P轨迹方程为y2=2x，
表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．（6分）
（2）当直线l的斜率不存在时，
由题设可知直线l的方程是x=，
联立x=与y2=2x可求得A（），B（），
不符合=0  （7分）
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），
联立y=kx+b与y2=2x，
化简得ky2-2y+2b=0  （9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2==0⇔x1x2+y1y2=0⇔+y1y2=0⇔y1y2+4=0⇔+4=0⇔b+2k=0  ①（11分）
又O到直线l距离为得②（12分）
联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2（13分）