Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+b_n+1=a_n，
（1）求证a_n=3×2^n-1；
（2）求证：b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．

Answer

（1）先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，an=3×2n-1都成立；
（2）类似（1）的证明：先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，bn=2n-1+（-1）n都成立
证明：（1）∵{an}是等比数列，a1=3，a4=24，
设公比为q，则3q3=24，∴q=2．   （2分）
∴an=3×2n-1．   （2分）
（2）（数学归纳法）   （2分）
①当n=1时，b1=0=21-1+（-1）1，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立即bk=2k-1+（-1）k，则
∵bn+bn+1=an=3×2n-1，∴2k-1+（-1）k+bk+1=3×2k-1，
∴bk+1=2k+（-1）k+1，即当n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知，bn=2n-1+（-1）n．   （2分）