Question

已知sinα，cosα是关于x的二次方程4x²+2mx+m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求的值．

Answer

（1）由已知中sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，我们根据方程存在实根的条件，我们可以求出满足条件的m的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，我们易求出满足条件的m的值；
（2）先由第一问求出的m确定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，变形后与分子约分可得到关于sinα+cosα及sinαcosα的关系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．
【解析】
（1）∵sinα，cosα是关于x的二次方程4x2+2mx+m=0的两个根，
∴当△=（2m）2-16m≥0，即m≤0，或m≥4时，
有sinα+cosα=-=-，sinαcosα=，
又sin2α+cos2α=1，即（sinα+cosα）2-2sinαcosα=-=1，
化简得：（m-1）2=5，
解得：m=1+（舍去）或m=1-，
则；（4分）
（2）∵sinα+cosα=-，sinαcosα=，
∴
=
=
=
=-．（5分）