Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M₁、N₁．
（Ⅰ）当a=时，求证：AM₁⊥AN₁；
 （Ⅱ）记△AMM₁、△AM₁N₁、△ANN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S₂²=4S₁S₃成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．

Answer

（Ⅰ） 由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（-a，y1），N1（-a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2-2mpy-2ap=0利用根与系数的关系及点A（a，0）得出即可证明出结论；
（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论
【解析】
依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（-a，y1），N1（-a，y2）．
将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2-2mpy-2ap=0    
从而有y1+y2=2mp，y1y2=-2ap                                                          ①
于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a）                                    ②
又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2        ③
（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，
l为其准线，其方程为x=-
此时M1（-，y1），N1（-，y2）．并由 ①可得y1y2=-p2
∵，
∴=0，故有 AM1⊥AN1；
 （Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：
证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．
于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1-y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，
∴S22=4S1S3⇔（a|y1-y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ⇔a2[（y1+y2）2-4y1y2]=[x1x2+a（x1+x2）+a2]|y1y2|
将①、②、③代入上式化简可得
a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立