Question

已知函数，且f（1）=2
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

Answer

（1）求实数a的值，由f（1）=2即可求得；
（2）判断f（x）的奇偶性可利用f（x）+f（-x）=0证明其为奇函数；
（3）先判断出其在（1，+∞）上是增函数，再利用定义法证明．
【解析】
（1）由题意f（1）=1+a=2，∴a=1
（2）f（x）是奇函数，因为，故其是奇函数；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，下用定义法证明
作取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x1-x2+=（x1-x2）（1-）
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，1-＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即函数f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，