Question

抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer

由已知得F（1，0），点A在x轴上方，设A（x1，y1），y1＞0，由|FA|=2得A（1，2），同理B（4，-4），所以直线AB的方程为2x+y-4=0．设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2，由点到直线距离公式能求出△PAB的面积最大值和此时P点坐标．
【解析】
由已知得F（1，0），点A在x轴上方，
设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2，
得x1+1=2，x1=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），
且0≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d===，
所以当y=-1时，d取最大值，
又|AB|=3，
所以△PAB的面积最大值为．
此时P点坐标为（，-1）．