Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer

（1）根据两条渐近线与圆相切，可得双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．利用双曲线C的一个焦点为，可得a2=1，从而可求双曲线C的方程．
（2）直线与双曲线方程联立消去y，设A（x1，y1）、B（x2，y2），进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根求得m的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据m的范围求得b的范围．
【解析】
（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为，∴2a2=2，a2=1．
∴双曲线C的方程为：x2-y2=1．
（2）由得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此，解得．又AB中点为，
∴直线l的方程为：．令x=0，得．
∵，∴，
∴．