Question

设f（x）=且a≠1），函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）图象关于直线x-y=0对称．
（1）求函数y=g（x）的解析式及定义域；
（2）设关于x的方程在[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：．

Answer

（1）函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）图象关于直线x-y=0对称，说明函数y=g（x）与函数y=f（x）互为反函数．可以根据函数y=f（x）的表达式解出x=f-1（y），再将xy互换，可得函数y=g（x）的解析式，根据真数大于0，得出其定义域；
（2）根据（1）的表达式，可以将原方程转化为：，在x∈[2，6]时有解．将此等式整理，得t=（x-1）2（7-x），利用求导数的方法，列表得出t关于x函数的单调性，从而得出t在x∈[2，6]时的值域，即可求出原方程有解时的t的取值范围；
（3）结合（1）的表达式得，g（k）=，利用对数的基本性质将不等式左边合并化简为，当n≥2时不等式的左边恒大于0，而不难得出不等式的右边为≤0，在n≥2时恒成立．故原不等式成立．
【解析】
（1）由题意，得函数所以由f（x）=解出x，得
所以函数y=g（x）=（a＞0且a≠1）
由，得定义域为：（-∞，-1）（1，+∞）；
（2）原方程变为：
等价于：，x∈[2，6]
整理，得t=（x-1）2（7-x），其中2≤x≤6
求导可得：t′（x）=-3x2+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表：

x 2 （2，5） 5 （5，6） 6
t′（x） 9 + - 15
t（x） 5 增 极大值32 减 25

由表格得，当x=5时函数t（x）取最大值32，当x=2时，t（x）取最小值5
因为原方程在[2，6]上有实数解，所以t的取值范围为：[5，32]；
（3）a=e，结合（1）得，g（k）=
所以=
==
原不等式等价于：
先看左边，在n≥2时
注意到右边为≤0，在n≥2时恒成立
所以左边大于右边，
故不等式成立