Question

（I）已知椭圆C的方程是，设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

Answer

（I）设直线l的方程为y=kx+m且椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立进而可得x1+x2和y1+y2的表达式，进而可得AB中点M的坐标进而可判定AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．
（II）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．
【解析】
（I）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有，解得 （b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，
∵△＞0，∴m2＜b2+a2k2，即 ．
则 ，
∴AB中点M的坐标为．
∴线段AB的中点M在过原点的直线 b2x+a2ky=0上．…（8分）
另【解析】
也可以用点差法先求出（其中（x，y）为AB的中点M的坐标），因此线段AB的中点M在过原点的直线 b2x+a2ky=0上．
（Ⅱ）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．…（14分）