Question

已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．

Answer

（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．
（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）-lnx，问题转化为g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；
（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，则当时，在[1，+∞]上恒成立，
对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．
解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．
【解析】
（1）∵，
∴
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y=x-1上，
∴2a-1+c=0⇒c=1-2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
设g（x）=f（x）-lnx，则g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵，
而当时，．
1°当即时，
g'（x）≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴；
2°当即时，
g'（x）=0时；
且时，g'（x）＜0，
当时，g'（x）＞0；
则①，
又∵与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．

（3）证明：由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
则当时，在[1，+∞]上恒成立，
令x依次取…时，
则有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．
解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．
那么1+++…++＞ln（k+1）++
=ln（k+1）+．
由（2）知：当时，有f（x）≥lnx  （x≥1）
令有f（x）=  （x≥1）
令x=得
∴
∴1+++…++＞
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．