Question

四面体A-BCD的棱长均为a，E，F分别为棱BC，AD的中点
（1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值．
（2）求CF和ED所成的角．

Answer

（1）设G为AB中点，连接CG，GF则BD∥GF，∠GFC为异面直线CF和BD所成的角，在△GFC中求解即可．
（2）连接AE，设H为AE中点，连接HF，则HF∥ED，∠HFC为CF和ED所成的角，在△HFC中求解即可．
【解析】
不妨设a=2，
（1）设G为AB中点，连接CG，GF则BD∥GF，∠GFC为异面直线CF和BD所成的角．
∵GF=BD=1，CG=CF===，
在△GFC中，由余弦定理得cos∠GFC===
异面直线CF和BD所成的角的余弦值为．

（2）连接AE，设H为AE中点，连接HF，则HF∥ED，∠HFC为CF和ED所成的角．
在△AHC中，AH=AE==，则HC2=AH2+AC2-2AH×ACcos30°=．
在△HFC中，HF=DE=，CF=，
由余弦定理得cos∠HFC===
∴CF和ED所成的角为arccos．