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已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、...

已知椭圆C1manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程.
(1)先利用离心率为,求出a,b,c之间的关系,再利用直线l:x-y+2=0与圆相切求出b,即可求椭圆C1的方程; (2)把条件转化为动点M到定点F2(1,0)的距离等于它到直线l1:x=-1的距离即可求出点M的轨迹C2的方程. 【解析】 (1)由e=,得=1-e2=; 由直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,得=|b|. 所以,b=,a= 所以椭圆的方程是+=1. (2)由条件,知|MF2|=|MP|, 即动点M到定点F2(1,0)的距离等于它到直线l1:x=-1的距离, 由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x(x≠0)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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