Question

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求b的值；
（2）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值；
（3）若当x∈[1，3]时，恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）函数的极值点处的导数值为零，因此对函数求导数，结合x=2是f（x）的一个极值点，得f′（2）=0，最后解关于b的方程，可得b的值为；
（2）根据导数的几何意义，切线的斜率等于导数在切点处的值，因此设直线y=2x和函数的图象相切于点P（x，y），解方程f′（x）=2得x=0或3，再将其代入直线方程可以得到切点P的坐标为（0，0）或（3，6），最后将所得坐标代入f（x）的表达式，可得实数a的值；
（3）将不等式进行变量分离，变成，在x∈[1，3]时恒成立．记不等式的左边为F（x），通过求导数的方法得到F（x）在区间[1，3]上的最小值为F（2）=0，欲使不等式在区间[1，3]时恒成立，即这个最小值也大于a2-a，解不等式a2-a＜0，可得实数a的取值范围．
【解析】
（1）由题意，得f（x）导函数为：f′（x）=x2-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0即22-2b•2+2=0⇒
（2）由（1）得函数表达式为：
它的导数为f′（x）=x2-3x+2
设直线y=2x和函数的图象的切点为P（x，y）
由导数的几何意义得f′（x）=x2-3x+2=2
∴x=0或3
代入直线y=2x方程得：y=0或6
∴切点为（0，0）或（3，6）
①将切点（0，0）代入函数表达式，得f（0）=a=0
②将切点（3，6）代入函数表达式，得f（3）=•33-•32+2•3+a=6，得
综上所述，得a=0或
（3）当x∈[1，3]时，恒成立，
即在x∈[1，3]时恒成立
变量分离得：在x∈[1，3]时恒成立
说明在[1，3]上的最小值大于a2-a
记F（x）=，求得F′（x）=x2-3x+2
当x∈（1，2）时，F′（x）＜0，所以F（x）为（1，2）上的减函数
当x∈（2，3）时，F′（x）＞0，所以F（x）为（2，3）上的增函数
∴F（x）在[1，3]上的最小值为F（2）==0
∴a2-a＜0，解之得0＜a＜1