Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C₁上的动点P满足．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设曲线C₂的方程为|x|+|y|=m（m＞0），当C₁和C₂有四个不同的交点时，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆的定义可得2a=可求a，由c=2及b2=a2-c2可求b，进而可求解椭圆方程
（2）分类讨论，化简已知方程可得，曲线C2是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四个点为顶点的正方形，若使C1和C2有四个不同的交点，且曲线C1，C2都是关于x轴，y轴对称的曲线，则可得曲线x+y=m（0＜x≤m）与C1有且仅有一个交点，即方程组有且仅有一组解，即关于x的方程3x2-4mx+2m2-8=0在区间（0，m]上有且仅有一个实数根，根据二次函数的性质分类进行求解
【解析】
（1）∵点F1（-2，0），F2（2，0）
由题意=4，且
∴曲线C1是以F1（2，0），F2（-2，0）为焦点，长轴为4的椭圆
设椭圆C1的方程为（a＞b＞0）
∵，b2=a2-c2=4
∴曲线C1的方程为
（2）∵曲线C2的方程为|x|+|y|=m（m＞0）
∴当x＞0，y≥0时，曲线C2的方程为x+y=m（m＞0）
当x≤0，y＞0，曲线C2的方程为-x+y=m（m＞0）
当x＜0，y≤0，曲线C2的方程为-x-y=m（m＞0）
当x≥0，y＜0，曲线C2的方程为x-y=m（m＞0）
∴曲线C2是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四个点为顶点的正方形
∵C1和C2有四个不同的交点，且曲线C1，C2都是关于x轴，y轴对称的曲线
∴曲线x+y=m（0＜x≤m）与C1有且仅有一个交点
∴有且仅有一组解
即关于x的方程3x2-4mx+2m2-8=0在区间（0，m]上有且仅有一个实数根x
设f（x）=3x2-4mx+2m2-8
①，解得
②，解得
综上得