Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求．

Answer

（1）由已知中SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，易得DA，DC，DS两两垂直，以D为原点，直线DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．求出向量，的坐标，易得与平行，进而由线面垂直的判定定理得到SB∥平面ACE；
（2）求出平面CBS的一个法向量和平面ABS的一个法向量，代入向量夹角公式，易求出二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设=λ（λ＞0），由已知中∠ABF=60°，我们可根据向量夹角公式，构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到．
【解析】
∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴DA，DC，DS两两垂直，
如图以D为原点，直线DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），
又∵E是SD的中点，
∴E（0，0，1）
证明：（1）连接BD，与AC相交于点O，连接EO
所以O（，1，0）
∵=（，1，-1），=（，2，-2），
∴=2
∴SB∥EO
∵EO⊂平面ACE，SB⊄平面ACE，
∴SB∥平面ACE；
【解析】
（2）设=（a，b，c）是平面CBS的一个法向量，则•=0，•=0
∵=（-，0，0），=（0，2，-2）
∴，令b=1，则=（0，1，1）
同理可得=（，0，-2）是平面ABS的一个法向量，
则钝二面角A-SB-C的夹角θ，则
|cosθ|==
∴二面角A-SB-C的余弦值是-
证明：（3）设=λ（λ＞0）
则F（0，，），=（，，），
又∵=（0，-2，0），=∠ABF=60°，
故=•cos60°
即=
解得λ=1
∴=1