Question

函数f（x）=|sin2x|+|cos2x|
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；
（Ⅲ）我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f（x）的性质（本小题只需直接写出结论）

Answer

（I）把所给的自变量的值代入函数式，根据诱导公式化简整理出结果．
（II）对函数式进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据所给的角的范围写出ωx+φ的范围，根据三角函数的图象得到函数的值域．
（III）根据上一问整理出的函数的解析式，得到函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等．
【解析】
（Ⅰ）2分
（Ⅱ）当时，，则sin2x≥0，cos2x≥0…3分
∴…5分
又∵
∴∴
∴当时，f（x）的取值范围为．  …7分
（Ⅲ）①f（x）的定义域为R； …8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）为偶函数． …9分
③∵，
∴f（x）是周期为的周期函数； …11分
④由（Ⅱ）可知，当时，，
∴值域为． …12分
⑤可作出f（x）图象，如图所示：
由图象可知f（x）的增区间为（k∈Z），
减区间为（k∈Z）          …14分