Question

若函数f（x）在定义域R上处处可导，则命题“f（x）的增函数”是命题“∀x∈R，f′（x）＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

Answer

根据函数单调性与导数符号的关系，我们分别讨论“f（x）的增函数”⇒“∀x∈R，f′（x）＞0”的真假，与“∀x∈R，f′（x）＞0”⇒“f（x）的增函数”的真假，结合充要条件的定义，即可得到答案．
【解析】
∵函数f（x）在定义域R上处处可导，
若“f（x）的增函数”，则“∀x∈R，f′（x）≥0”，即“∀x∈R，f′（x）＞0”不一定成立，
故命题“f（x）的增函数”是命题“∀x∈R，f′（x）＞0”成立的不充分条件
若“∀x∈R，f′（x）＞0”成立，则命题“f（x）的增函数”也成立，
故命题“f（x）的增函数”是命题“∀x∈R，f′（x）＞0”成立的必要条件
故命题“f（x）的增函数”是命题“∀x∈R，f′（x）＞0”成立的必要不充分条件
故选B