Question

已知f（x）=-x²+4x，给定x₁，数列{x_n}满足x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），若无穷个项的数列{x_n}中的项能取的不同的值为有限个，则x₁的不同的值的个数m满足（ ）
A．m=0
B．1≤m≤5
C．m＞5且m只有有穷个
D．m有无穷个

Answer

由题设，可对xn=f（xn-1）（n=2，3，4，…），进行变形，得到xn-1+4=，由此关系对任意的n=2，3，4，…，都成立，由此得到xn-2+4=，…，x1+4=，各式相乘得出x1的表达式，再由题设中数列{xn}中的项能取的不同的值为有限个判断出x1的不同的值的个数m．
【解析】
由题意（xn-1）2+4（xn-1）=xn，即（xn-1+4）×（xn-1）=xn，即xn-1+4=，
故有xn-2+4=，…，x1+4=
各式相乘得：（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）=
∴x1=
xn能取得的值为有限的，而被除的部分（x1+4）（x2+4）（x3+4）（x4+4）…（xn-1+4）的值随着n的变化面变化，知x1的不同取值有无穷个，故m的取值为无穷个
故选D