Question

如图，一个等腰直角三角形的硬纸片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜边上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能够量长度的直尺，应该如何确定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出球的半径的最大值．

Answer

（1）由已知可以得出∠ADC为二面角A-CD-B的平面角，在等腰直角三角形ADB中，求出AB即为所量得的数值．
（2）判断出三棱锥D-ABC是正三棱锥，取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件．
（3）小球半径最大时，此时小球与三棱锥的四个面都相切设，小球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD将三棱锥分成四个小三棱锥，且以原三棱锥的面作为底面，公共顶点为O，高均为r．利用等体积法求出r．
【解析】
（1）用直尺度量折后的AB长，若AB=4cm，则二面角A-CD-B是直二面角
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DB=
又∵AD⊥DC，BD⊥DC，
∴∠ADC为二面角A-CD-B的平面角
在等腰直角三角形ADB中，AB=AD=4．（4分）
（2）由（1）知△ABC此时为正三角形，
取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件．
∵△ABC此时为正三角形，且AD=DB=DC
∵三棱锥D-ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心知DP⊥面ABC
∴DP与平面ABC内任意一条直线垂直（8分）
（3）当小球半径最大时，此时小球与三棱锥的四个面都相切，设该小球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r故有VA-BCD=VO-BCD+VO-ADC+VO-ABD+VO-ABC，所以S△ADB×CD=（S△BCD+S△ADC+S△ABD+S△ABC）×r，而易得S△BCD=S△ADC=S△ABD=8，S△ABC=4
代入得小球的半径最大值为r=（14分）