Question

棱P-ABCD的底面是正方形PD⊥ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当，且E为PB的中点时，求①AE与平面PDB所成的角的大小；②求异面直线AE和CD所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：AC⊥BD，并且PD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，进而由面面垂直的判定定理可得面面垂直．
（Ⅱ）①设AC∩BD=O，连接OE，所以∠AEO为AE与平面PDB所的角，根据题中的线面关系与线段的长度关系可得：在Rt△AOE中，∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
②因为AB∥CD，所以∠EAB为异面直线AE和CD所成角（或其补角），根据题中的线面关系与线段的长度关系可得：在△EAB中有∠EAB=60°，即异面直线AE和CD所成角为60°
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
【解析】
（Ⅱ）①设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点．
∴OE∥PD，OE=PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=，
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
②∵AB∥CD，
∴∠EAB为异面直线AE和CD所成角（或其补角）．
∵BA⊥AD，BA⊥PD，
∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AP
∵在△EAB中AE==1，BE==1，AB=1
∴∠EAB=60°
即异面直线AE和CD所成角为60°