Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是（）⁴的展开式中的第二项．
（Ⅰ）求实数m的值，并用含x的式子表示公比q；
（Ⅱ）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（Ⅲ）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer

（Ⅰ）根据题意，有a1=C2m+33m•Am-21，由二项式系数的性质，可得，解可得；即m=3，写出的展开式中的通项的第二项，即可得公比；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可得a1与公比，可得等比数列的通项为an=xn-1，分x=1与x≠1两种情况讨论，分别求出Sn，综合可得答案；
（Ⅲ）分x=1与x≠1两种情况讨论，当x=1时，Sn=n，An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，倒序相加可得2An=n（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn），由二项式定理可得2An=n•2n，化简可得An=n•2n-1，当x≠1时，，代入可得An的表达式，综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=C2m+33m•Am-21
∴，解可得；
∴m=3，
由的展开式中的通项公式知q=，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a1=C2m+33m•Am-21=C66•A11=1，其公比为x，
则an=xn-1，
当x=1时，an=1，Sn=1+1+…+1=n，
当x≠1时，Sn==，
则；
（Ⅲ）当x=1时，Sn=n，An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn①
又∵An=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+Cn1+0Cn，②
①+②可得：2An=n（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n，
∴An=n•2n-1，
当x≠1时，，

则．