Question

某玩具厂计划每天生产A、B、C三种玩具共100个．已知生产一个玩具A需5分钟，生产一个玩具B需7分钟，生产一个玩具C需4分钟，而且总生产时间不超过10个小时．若每生产一个玩具A、B、C可获得的利润分别为5元、6元、3元．
（I）用每天生产的玩具A的个数x与玩具B的个数y表示每天的利润T元；
（II）请你为玩具厂制定合理的生产任务分配计划，使每天的利润最大，并求最大利润．

Answer

（I）依题意，每天生产的玩具C的个数为100-x-y，根据题意即可得出每天的利润；
（II）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设T=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到T值即可．
【解析】
（I）依题意，每天生产的玩具C的个数为100-x-y，
所以每天的利润T=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．…..（2分）
（II）约束条件为：，
整理得．…（5分）
目标函数为T=2x+3y+300．
如图所示，做出可行域．…（8分）
初始直线l：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，T有最大值．
由得．
最优解为A（50，50），
此时Tmax=550（元）．…（10分）
答：每天生产玩具A50个，玩具B50个，玩具C0个，这样获得的利润最大，最大利润为550元．…．（12分）